Quelques sujets mathématiques sympa

Les mathématique, vaste sujet. Ici, j’ai l’honneur de vous présenter un petit assortiment de résultats mathématiques qui vont sûrement vous étonner, ou au moins vous faire cogiter. Dans le monde des idées incomplètes, il faut savoir garder le sang-froid et la tête chaude, cependant je me dois de vous mettre en garde, la plupart de ces sujets sont intraitable et ont fait vaciller nombre de mathématiciens tous brillants. Il est ainsi fortement déconseillé de s’y attaquer formellement, on va dans cet article simplement en effleurer la surface.

Conjecture de Goldbach

Et on commence par ma conjecture mathématique préférée, et c’est la suivante :

« Tout nombre pair plus grand que deux est la somme de deux nombres premiers. »

Sans doute le problème mathématique le plus simple à comprendre qui n’est pas encore résolut (c’est-à-dire démontré juste, faux ou indécidable). Premièrement énoncée par Christian Goldbach dans une correspondance avec le grandissime Friedrich Gauss (surnommé le « prince des mathématiciens »), c’est à lui aussi que l’on doit la pyramide de Goldbach ci-dessous :

En détail, tous les nombres pairs sont distribués de haut en bas et une ligne grise leur est attribuée à leur droite. Les nombres premiers sont distribué à gauche et à droite de la pyramide et il leur est attribué respectivement une diagonale bleue et rouge. Les points blancs représentent les intersections entre les droites rouges et bleues qui est aussi équivalent à l’addition des nombre premiers associés aux deux droites.

Pour l’histoire, ce problème figurait déjà dans la liste des 23 problèmes de David Hilbert lors du deuxième Congrès International des Mathématiciens à Paris en août 1900.

David Hilbert (1862-1943)

Cachée par cette apparente simplicité, cette conjecture est aussi la source d’innombrables spéculations. Les outils mathématiques qui permettraient de résoudre ce problème pourraient être en lien avec l’hypothèse de Riemann et l’origine des nombres premiers. Ce problème a donc tout son intérêt et pourrait avoir des applications dans le monde réel, par exemple dans la cryptographie où l’on retrouve de la théorie des nombres. On peut déjà trouver sur Internet un très grand nombre de « preuve » n’ayant pas été acceptée par la communauté mathématique, ou du moins pas encore.

Conjecture de Collatz/Syracuse ou problème 3x+1

Les mathématiques, ça peut aussi être inutile. À ce titre, voyons la conjecture de Collatz : prenez un nombre entier strictement positif, s’il est pair diviser le par deux, et s’il est impair multipliez le par trois et ajouter lui un.

Étape par étape pour le nombre 37, on obtient la suite suivante :

37, 112, 56, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …

Ici donc, on voit que la suite se termine par la répétition de 4, 2, 1 à l’infini, on dit alors que la suite a « atterri » et on peut tracer son parcours sur un graphe (l’axe des abscisses représente alors le nombre d’étapes) :

C’est justement là le cœur de la conjecture : quel que soit le nombre de départ, la suite finit inévitablement par atterrir sur la répétition de 4, 2, 1. Cette conjecture a été énoncée en 1937 par Lothar Collatz et depuis les mathématiciens du monde entier tâtonnent à la démontrer. Elle aurait été démontrée vraie pour tout entier positifs jusqu’à 2.95×10²⁰.

Et pour ceux qui se demanderaient quelle seraient les possibles applications de ce résultat, il est important de rappeler la citation de Georg Cantor :

« L’essence des mathématiques, c’est la liberté. »

Dans ce cas, il y a aussi la liberté de traité de sujets en apparence inutile ou vain d’esprit. Et pour ceux qui sont persuadés de la véracité de cet énoncé, je vous laisse voir en exercice quelle est la suite obtenue pour le chiffre 27.

Le théorème des quatre couleurs

Avez-vous déjà essayé de colorier une carte ? Un des résultats les plus perturbant est le suivant (un peu simplifié) :

« Toute carte découpée en régions connexes peut être coloriée en quatre couleurs, telle que toutes régions sont en contact avec aucune région de la même couleur que la sienne. »

Ici, une région connexe, c’est équivalent à une région « en un seul morceau », en mots simples. Contrairement aux sujets plus haut, ce résultat est un théorème, il a donc été démontré par Kenneth Appel et Wolfgang Haken en 1976 alors qu’il a été conjecturé en 1840 par Ferdinand Möbius, un nom important pour tout érudit d’arithmétique.

C’est un résultat assez difficile à visualiser, et encore plus à s’en convaincre puisque la preuve actuelle est fondée sur une très longue série de calculs informatiques. Pourtant, les mathématiciens restent persuadés qu’il doit exister une démonstration simple et élégante à ce problème, qui demeure donc, encore aujourd’hui, digne d’intérêt.

À savoir que trouver un 4-coloriage pour une carte quelconque, avec des régions éventuellement non-connexes et non-planaires (qu’on simplifie alors en graphes quelconques), est un problème dit « NP-complet ». Il existe donc un lien avec l’un des célèbres problèmes du millénaire : la fameuse conjecture P = NP (plus d’informations en source).

Le théorème de Banach-Tarski

Voilà un résultat absurde et fortement intéressant. Notez bien que ceci est encore un théorème et non un paradoxe. L’énoncé simplifié est le suivant :

« Une sphère peut être découpée en un nombre fini de morceaux, et ensuite ces morceaux peuvent être réassemblé afin de former deux boules identiques à la première. »

Oui, vous n’avez pas halluciné, les mathématiques proclamées comme point culminant de la logique humaine viennent de nous expliquer que l’on peut dupliquer de la matière.

Sans entrer en détails sur la démonstration qui est un peu chargée pour ce simple article, ce théorème illustre une fission au fondement des mathématique et en particulier sur les axiomes de la théorie des ensembles.

Les mathématiques modernes sont basées sur un nombre d’axiomes à partir desquels on peut construire tout résultats mathématiques. Ces axiomes sont appelés axiomes Z-F pour Ernst Zermelo (à gauche) et Abraham A. Fraenkel (à droite), auxquels vient s’ajouter le terrible axiome du choix (on dit alors Z-F-C).

Les axiomes ne sont pas démontrables, mais sont jugé suffisamment intuitifs pour que cela ne pose pas de problème. L’axiome du choix est cependant loin d’être intuitif, son énoncé simplifié dit :

« Pour tout ensemble d’ensemble non vide, il existe une fonction qui associe à chaque ensemble un élément qu’il contient. »

Cet énoncé est évidemment correct pour tous ensemble d’ensemble fini, l’affirmer pour un ensemble d’ensemble infini, c’est loin d’être évident. Heureusement, puisque c’est un axiome, on n’a pas besoin de le démontrer d’autant plus qu’il est quand même bien utile pour certains exercices.

La démonstration du théorème de Banach-Tarski utilise l’axiome du choix, c’est ainsi que cet axiome pose un problème dans la communauté mathématique, on est amené à penser que la théorie Z-F-C est incohérente. Et c’est là que Kurt Gödel porte le coup de grâce, en 1938 il démontre que la théorie Z-F-C est cohérente si Z-F l’est. Ainsi, si l’on considère la construction Z-F de la théorie des ensembles cohérente, alors le théorème de Banach-Tarski est parfaitement valable. Les mathématiques ne sont alors pas aussi logiques et parfaites que l’on pourrait le croire.