En vue des opinions désastreuses que l’on retrouve au sujet de “la mathématique” chez une partie non négligeable de la jeunesse, et parfois même chez certain de mes chers camarades associatifs, c’est avec grande conviction (et un certain intérêt) que je l’affirme : pour mener une vie rationnelle et disciplinée, la maitrise et la connaissance des arts mathématiques ne sont pas une option.
Bien heureusement, leur étude peut aussi être un moment de plaisir : entre paradoxes, logique pure et résultats exceptionnels. Je tiens à vous partager (encore) deux sujets qui, je l’espère, éveillerons votre curiosité
Achille et la tortue
Pour ceux n’ayant jamais traité ce problème, c’est l’histoire d’une course entre Achille, le plus grand guerrier de Grèce, et une simple tortue partant avec une longueur d’avance (disons 100 mètres). Zénon d’Élée conjectura que, malgré la vitesse fulgurante d’Achille, il ne pourrait jamais rattraper la tortue. En effet, le temps qu’Achille prend pour rattraper l’avance de la tortue, celle-ci avance elle aussi, créant une nouvelle distance qu’Achille devra de nouveau combler. Ce cycle se répéterait indéfiniment, et Achille ne la rattraperait donc jamais.
Figure 1: Illustration du paradoxe par Martin Grandjean
On parlait alors, à l’époque, d’un paradoxe. Mais il existe une conclusion tout à fait logique à ce raisonnement, que les Grecs anciens peinaient à formaliser rigoureusement. En effet, pour résoudre ce problème, il faut mobiliser les outils de l’analyse, et en particulier la notion de convergence de sommes infinies.
Regardons alors le temps qu’Achille mettrait pour rattraper la tortue. Supposons ici que la distance séparant Achille de la tortue soit de 100 mètres, on note v la vitesse d’Achille et v’ la vitesse de la tortue, le temps tn (celui qu’Achille met pour rattraper la tortue à la n-ième étape) peut alors se définir récursivement :
Il suffit ensuite de sommer les temps à chaque étape pour obtenir le temps total nécessaire à Achille pour rattraper la tortue :
En utilisant le fameux résultat sur les sommes géométrique vu en secondaire et dont vous pourrez retrouver une démonstration/explication en sources :
Ici on a bien vu que le rapport v/v’ est inférieur à 1 car on suppose dans le “paradoxe” qu’Achille est plus rapide que la tortue. On voit ainsi que le temps total que Achille prend pour rattraper la tortue est bien fini, signifiant ainsi qu’il rattrape bien la tortue, et cela résout donc le problème de Zénon d’Élée.
La raison pour laquelle je vous partage ce résultat est bien qu’il met en lumière une chose assez profonde : l’humain peine à visualiser l’infini. La convergence (ou divergence) de somme infinie ne peut être saisie à l’intuition seule, il faut nécessairement s’appuyer sur une rigueur mathématique.
Pour illustrer cela, je vous propose un petit défi. Je vous présente la série harmonique :
Saurez-vous dire si elle converge ou diverge ? Je vous laisse un article en source pour aller plus loin.
Incomplétude de Gödel
Je me souviens de la première fois que j’ai entendu parler de ces théorèmes : c’était lors d’un débat sur la raison avec un ami. C’est de très loin le théorème préféré des philosophes de comptoirs, surtout quand il s’agit d’affirmer tout et n’importe quoi en se réclamant d’une mathématique implacable.
Je vous laisse en source une page traitant de quelques fraudes autour de l’utilisation de ce théorème. C’est un sujet assez glissant : mieux vaut prendre ses précautions (ou d’être accompagné par un professionnel) avant de s’en servir.
Plus sérieusement, les théorèmes d’incomplétudes traitent des fondements logiques des mathématiques, c’est à dire de l’axiomatique des théories. En mathématiques, tous les théorèmes et toutes les propositions se démontrent à partir d’axiomes (des hypothèses bien choisies). Ce sont les briques centrales permettant de construire les théories mathématiques. On peut alors parler des différents axiomes : les axiome Z-F-C pour la théorie des ensembles, les axiomes d’Euclide pour la géométrie Euclidienne, ou même lesaxiomes de Peano pour l’arithmétique.
La question jadis posée par David Hilbert était la suivante : Est-il possible, à partir d’un ensemble fini d’axiomes, de construire une théorie cohérente et complète ?
C’est dans cette optique qu’intervient le roi des logiciens modernes, Kurt Gödel, avec ses théorèmes d’incomplétudes dont je vais essayer de présenter le premier :
Figure 2 Kurt Gödel, Life Magazine 10 février 1970
“Tout système formel cohérent, et susceptible de formaliser en son sein l’arithmétique des entiers, est incomplet.”
Alors, ici, un “système formel cohérent”, ça peut être vu comme une théorie axiomatique qui ne se contredit pas, “formaliser l’arithmétique des entiers” on peut voir cela comme les chiffres munis des opérations habituelles (addition, multiplication, …) et finalement, pour voir ce que le terme “incomplet” signifierait, il faut définir plus précisément ce qu’est une théorie complète.
Dans notre contexte une théorie complète c’est que tous les théorèmes existants peuvent : soit être démontrés (par une suite d’arguments logique partant des axiomes), soit être réfutés. Ainsi afin de vérifier l’incomplétude, il suffirait de construire un énoncé mathématique qui ne peut ni n’être démontré, ni être réfuté. L’idée de Gödel se porte alors sur un théorème auto-référent, tout en utilisant la supposition qu’un énoncé démontrable est nécessairement vrai.
“ Cet énoncé n’est pas démontrable”
Si l’énoncé est faux, alors il est démontrable, ce qui est absurde car, on suppose généralement qu’un énoncé démontrable doit être vrai. S’il est vrai, alors il n’est pas démontrable, ce qui suffit alors à mettre à mal la complétude de la théorie. Pour ceux qui l’ont reconnu, c’est un cas assez similaire au paradoxe du menteur déjà théorisé par Épiménide au 6e siècle avant J.-C.
Ne voulant pas commettre plus d’erreurs que j’en ai surement déjà fait dans cette ébauche d’explication, je vais m’éviter toute interprétation philosophique de cet énoncé (mis à part que les mathématiciens pourraient s’en réjouir : les théories ne seront jamais complètes, il existera toujours des théorèmes à découvrir, à explorer et à démontrer.
Adrien Mocaer
Sources :
Plus sur Gödel et le deuxième théorème d’incomplétude
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